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Posté le dimanche 30 septembre 2007 09:31
Modifié le lundi 01 octobre 2007 01:29
Je vais vous expliquer ..
Une matrice est un ensemble de nombres disposés en lignes et en colonnes sous forme de tableau rectangulaire. Ces nombres représentent les éléments de la matrice.
Sa dimension, donnée par le nombre de lignes m et le nombre de colonnes n est notée m!×!n. Par exemple, la matrice
est une matrice 2!×!3. Une matrice à m lignes et m colonnes est appelée matrice carrée d'ordre m.
En notation mathématique standard, une matrice est indiquée par une majuscule et ses éléments par une minuscule doublement indexée. Ainsi aij est l'élément de la matrice A qui se trouve à l'intersection de la ie ligne et de la je colonne. La matrice A s'écrit alors :
ou encore en abrégé : A!=!(aij), signifiant que A est la matrice de terme général aij. Si A!=!(aij) est une matrice carrée d'odre n, alors les éléments a11, a22, a33, ..., ann forment la diagonale principale de la matrice.
Soient deux matrices A et B, avec A!=!(aij) et B!=!(bij). Ces deux matrices sont égales si, et seulement si, elles sont de même dimension et pour tous i et j, aij!=!bij.
Opérations sur les matrices
Sous certaines conditions, différentes opérations peuvent être effectuées sur les matrices : addition, soustraction et multiplication. Dans certains cas, il est également possible de définir le déterminant et l'inverse d'une matrice.
Addition
La somme de deux matrices n'est définie que si ces matrices sont de même dimension. Pour deux matrices A!=!(aij) et B!=!(bij) de dimension m!×!n, leur somme est alors une matrice C!=!(cij) de dimension m!×!n et d'élément générique cij!=!aij!+!bij. En d'autres termes, il suffit d'additionner les éléments homologues des deux matrices pour obtenir la matrice somme. Par exemple,
L'addition sur l'ensemble des matrices de dimension m!×!n possède les mêmes propriétés que l'addition sur les nombres : c'est une opération associative, commutative, et possédant un élément neutre, la matrice nulle, notée 0, dont tous les éléments sont nuls. Pour toute matrice A, on a donc A!+!0!=!0!+!A!=!A.
Soustraction
Tout comme l'addition, la soustraction de deux matrices n'est définie que pour des matrices de même dimension. Pour deux matrices A!=!(aij) et B!=!(bij) de dimension m!×!n, avec aij et bij nombres réels pour tous i et j, leur différence est alors une matrice C!=!(cij) de dimension m!×!n et d'élément générique cij!=!aij!-!bij. Il suffit donc de soustraire les éléments homologues des deux matrices pour obtenir la matrice différence. La soustraction sur l'ensemble des matrices de dimension m!×!n possède les mêmes propriétés que la soustraction sur l'ensemble des nombres auxquels appartiennent les éléments matriciels.
Multiplication
Le produit AB de deux matrices A et B n'est défini que si le nombre de colonnes de la matriceA est égal au nombre de lignes de la matrice B. Soient la matrice A!=!(aij) de dimension m!×!n et la matrice B!=!(bjk) de dimension n!×!p. Le produitAB de A par B est alors une matrice C!=!(cik) de dimension m!×!p et d'élément générique cik tel que :
En d'autres termes, l'élément de la ie ligne et de la ke colonne du produit de deux matrices correspond à la somme des produits des éléments de la ie ligne et de la je colonne de la première matrice (facteur de gauche du produit) par les éléments de la je ligne et de la ke colonne de la seconde matrice (facteur de droite du produit). Par exemple, si l'on désire effectuer le produit des matrices :
on écrit :
La multiplication de deux matrices n'est pas commutative comme dans le cas de deux nombres réels a et b pour lesquels a.b est égal à b.a. En revanche, elle est associative et distributive par rapport à l'addition (voir Multiplication). Pour toutes matrices A d'ordre m!×!n, B d'ordre n!×!p, et C d'ordre p!×!q, on a donc :
A(BC)!=!(AB)C
A(B!+!C)!=!AB!+!AC
(B!+!C)A!=!BA!+!CA.
Sur l'ensemble des matrices carrées, la multiplication possède un élément neutre appelé matrice unité I, dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à 1. Pour toute matrice carrée A, on peut donc écrire : IA!=!AI!=!A.
Déterminant et inverse
À chaque matrice carrée A est associé un nombre appelé déterminant de A et noté det A. Par exemple, le déterminant d'une matrice 2!×!2 :
est det A!=!ad!-!bc. Pour des matrices d'ordre supérieur, voir
Une matrice carrée A est dite inversible s'il existe une unique matrice carrée B telle que AB!=!BA!=!I. La matrice B est alors l'inverse de A et notée A-1. On démontre qu'une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Applications
Les matrices, et en particulier les déterminants, jouent un rôle essentiel dans la résolution des systèmes linéaires d'équations.
Mais la théorie des matrices a également d'importantes applications en géométrie : les transformations telles que translation, rotation autour d'un point fixe ou symétrie orthogonale par rapport à une droite peuvent être en effet représentées par des matrices. La matrice d'une composition de telles transformations est obtenue en effectuant des opérations sur les matrices des transformations combinées.
Sa dimension, donnée par le nombre de lignes m et le nombre de colonnes n est notée m!×!n. Par exemple, la matrice
est une matrice 2!×!3. Une matrice à m lignes et m colonnes est appelée matrice carrée d'ordre m.
En notation mathématique standard, une matrice est indiquée par une majuscule et ses éléments par une minuscule doublement indexée. Ainsi aij est l'élément de la matrice A qui se trouve à l'intersection de la ie ligne et de la je colonne. La matrice A s'écrit alors :
ou encore en abrégé : A!=!(aij), signifiant que A est la matrice de terme général aij. Si A!=!(aij) est une matrice carrée d'odre n, alors les éléments a11, a22, a33, ..., ann forment la diagonale principale de la matrice.
Soient deux matrices A et B, avec A!=!(aij) et B!=!(bij). Ces deux matrices sont égales si, et seulement si, elles sont de même dimension et pour tous i et j, aij!=!bij.
Opérations sur les matrices
Sous certaines conditions, différentes opérations peuvent être effectuées sur les matrices : addition, soustraction et multiplication. Dans certains cas, il est également possible de définir le déterminant et l'inverse d'une matrice.
Addition
La somme de deux matrices n'est définie que si ces matrices sont de même dimension. Pour deux matrices A!=!(aij) et B!=!(bij) de dimension m!×!n, leur somme est alors une matrice C!=!(cij) de dimension m!×!n et d'élément générique cij!=!aij!+!bij. En d'autres termes, il suffit d'additionner les éléments homologues des deux matrices pour obtenir la matrice somme. Par exemple,
L'addition sur l'ensemble des matrices de dimension m!×!n possède les mêmes propriétés que l'addition sur les nombres : c'est une opération associative, commutative, et possédant un élément neutre, la matrice nulle, notée 0, dont tous les éléments sont nuls. Pour toute matrice A, on a donc A!+!0!=!0!+!A!=!A.
Soustraction
Tout comme l'addition, la soustraction de deux matrices n'est définie que pour des matrices de même dimension. Pour deux matrices A!=!(aij) et B!=!(bij) de dimension m!×!n, avec aij et bij nombres réels pour tous i et j, leur différence est alors une matrice C!=!(cij) de dimension m!×!n et d'élément générique cij!=!aij!-!bij. Il suffit donc de soustraire les éléments homologues des deux matrices pour obtenir la matrice différence. La soustraction sur l'ensemble des matrices de dimension m!×!n possède les mêmes propriétés que la soustraction sur l'ensemble des nombres auxquels appartiennent les éléments matriciels.
Multiplication
Le produit AB de deux matrices A et B n'est défini que si le nombre de colonnes de la matriceA est égal au nombre de lignes de la matrice B. Soient la matrice A!=!(aij) de dimension m!×!n et la matrice B!=!(bjk) de dimension n!×!p. Le produitAB de A par B est alors une matrice C!=!(cik) de dimension m!×!p et d'élément générique cik tel que :
En d'autres termes, l'élément de la ie ligne et de la ke colonne du produit de deux matrices correspond à la somme des produits des éléments de la ie ligne et de la je colonne de la première matrice (facteur de gauche du produit) par les éléments de la je ligne et de la ke colonne de la seconde matrice (facteur de droite du produit). Par exemple, si l'on désire effectuer le produit des matrices :
on écrit :
La multiplication de deux matrices n'est pas commutative comme dans le cas de deux nombres réels a et b pour lesquels a.b est égal à b.a. En revanche, elle est associative et distributive par rapport à l'addition (voir Multiplication). Pour toutes matrices A d'ordre m!×!n, B d'ordre n!×!p, et C d'ordre p!×!q, on a donc :
A(BC)!=!(AB)C
A(B!+!C)!=!AB!+!AC
(B!+!C)A!=!BA!+!CA.
Sur l'ensemble des matrices carrées, la multiplication possède un élément neutre appelé matrice unité I, dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à 1. Pour toute matrice carrée A, on peut donc écrire : IA!=!AI!=!A.
Déterminant et inverse
À chaque matrice carrée A est associé un nombre appelé déterminant de A et noté det A. Par exemple, le déterminant d'une matrice 2!×!2 :
est det A!=!ad!-!bc. Pour des matrices d'ordre supérieur, voir
Une matrice carrée A est dite inversible s'il existe une unique matrice carrée B telle que AB!=!BA!=!I. La matrice B est alors l'inverse de A et notée A-1. On démontre qu'une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Applications
Les matrices, et en particulier les déterminants, jouent un rôle essentiel dans la résolution des systèmes linéaires d'équations.
Mais la théorie des matrices a également d'importantes applications en géométrie : les transformations telles que translation, rotation autour d'un point fixe ou symétrie orthogonale par rapport à une droite peuvent être en effet représentées par des matrices. La matrice d'une composition de telles transformations est obtenue en effectuant des opérations sur les matrices des transformations combinées.
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Posté le dimanche 30 septembre 2007 09:33
Modifié le lundi 01 octobre 2007 01:30
Nantes sous un autre point de vue
Et si tout les réseaus était inféctés ..
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Posté le dimanche 30 septembre 2007 09:33
Modifié le lundi 01 octobre 2007 01:31
Matrix
Les Trilogie on été conçu pour mettre en relation nos Vie dans l'Informatique.. Comme dans cette Scene du Premier épisode,représentent le temp de téléchargement d'un Virus .
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Posté le dimanche 30 septembre 2007 09:34
Modifié le dimanche 30 septembre 2007 10:08
Depuis Bien longtemp..
Déjàs des Années que l'on imagine les Machine nous remplacer,Mais y croyez-vous?
C'est Simple; La colocation Oui on peut meme trés bientot,le Remplacement pas Encore dumoins
sur une autre planette..
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Posté le dimanche 30 septembre 2007 09:35
Modifié le dimanche 30 septembre 2007 10:10